La definición de problema (Documentación avanzada)
Dada la siguiente consulta:
pgr_dijkstra(\(sql, start_{vid}, end_{vid}, directed\))
Donde \(sql = \{(id_i, source_i, target_i, cost_i, reverse\_cost_i)\}\)
y
- \(source = \bigcup source_i\),
- \(target = \bigcup target_i\),
Los gráficos se definen como sigue:
Grafo dirigido
El gráfico dirigido ponderado, \(G_d(V,E)\), se define por:
- Conjunto de vértices \(V\)
- \(V = source \cup target \cup {start_{vid}} \cup {end_{vid}}\)
- El conjunto de aristas \(E\)
- \(E = \begin{cases}
\text{ } \{(source_i, target_i, cost_i) \text{ when } cost >=0 \} & \quad \text{if } reverse\_cost = \varnothing \\
\text{ } \text{ } & \quad \text{ } \\
\text{ } \{(source_i, target_i, cost_i) \text{ when } cost >=0 \} & \quad \text{ } \\
\cup \{(target_i, source_i, reverse\_cost_i) \text{ when } reverse\_cost_i>=0 \} & \quad \text{if } reverse\_cost \neq \varnothing \\
\end{cases}\)
Grafo no dirigido
El grafo ponderado no dirigido \(G_u(V,E)\), es definido por:
- Conjunto de vértices \(V\)
- \(V = source \cup target \cup {start_v{vid}} \cup {end_{vid}}\)
- El conjunto de aristas \(E\)
- \(E = \begin{cases}
\text{ } \{(source_i, target_i, cost_i) \text{ when } cost >=0 \} & \quad \text{ } \\
\cup \{(target_i, source_i, cost_i) \text{ when } cost >=0 \} & \quad \text{ if } reverse\_cost = \varnothing \\
\text{ } \text{ } & \text{ } \\
\text{ } \{(source_i, target_i, cost_i) \text{ when } cost >=0 \} & \text{ } \\
\cup \{(target_i, source_i, cost_i) \text{ when } cost >=0 \} & \text{ } \\
\cup \{(target_i, source_i, reverse\_cost_i) \text{ when } reverse\_cost_i >=0)\} & \text{ } \\
\cup \{(source_i, target_i, reverse\_cost_i) \text{ when } reverse\_cost_i >=0)\} & \quad \text{ if } reverse\_cost \neq \varnothing \\
\end{cases}\)
El problema
Dado:
- \(start_{vid} \in V\) a starting vertex
- \(end_{vid} \in V\) un vértice final
- \(G(V,E) = \begin{cases}
G_d(V,E) & \quad \text{ if6 } directed = true \\
G_u(V,E) & \quad \text{ if5 } directed = false \\
\end{cases}\)
Entonces:
- \(\boldsymbol{\pi} = \{(path\_seq_i, node_i, edge_i, cost_i, agg\_cost_i)\}\)
- Donde:
- \(path\_seq_i = i\)
- \(path\_seq_{| \pi |} = | \pi |\)
- \(node_i \in V\)
- \(node_1 = start_{vid}\)
- \(node_{| \pi |} = end_{vid}\)
- \(\forall i \neq | \pi |, \quad (node_i, node_{i+1}, cost_i) \in E\)
- \(edge_i = \begin{cases} id_{(node_i, node_{i+1},cost_i)} &\quad \text{when } i \neq | \pi | \\ -1 &\quad \text{when } i = | \pi | \\ \end{cases}\)
- \(cost_i = cost_{(node_i, node_{i+1})}\)
- \(agg\_cost_i = \begin{cases} 0 &\quad \text{when } i = 1 \\ \displaystyle\sum_{k=1}^{i} cost_{(node_{k-1}, node_k)} &\quad \text{when } i \neq 1 \\ \end{cases}\)
- En otras palabras: El algoritmo devuelve una ruta más corta entre \(start_{vid}\) y \(end_{vid}\), si es que existe, en términos de una secuencia de nodos y de aristas,
- \(path\_seq\) indica la posición relativa en el camino de \(node\) o \(edge\).
- \(cost\) es el coste del borde que se utilizará para ir al siguiente nodo.
- \(agg\_cost\) es el costo desde el \(start_{vid}\) hasta el nodo.
Si no hay ruta, el conjunto resultante estará vacío.
